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フーリエ光学は、信頼性・正確性・迅速な解析を得るために、私達の設計及び解析に最も使用される。以下に、フーリエ光学の基礎、特に回折及び結像解析への応用について説明します。

光とは

フーリエ光学を理解する基本は波としての光の概念である。光は電磁波の一種であり、マクスウェル方程式から容易に導き出せるベクトル波動方程式によって伝搬される。

最も基礎的な回折問題は、単にこのように任意の点から別の点に波を伝搬する手法を決定することである。一般的なスカラー波動方程式は次のように記述することができる。 ここで、 はラプラス作用素であり、 は外乱光であり、 は媒質の屈折率であり、 は真空中での伝搬速度である。単色波において、スカラー波動場は次のように記述することができる。 ここで、 は波の周波数であり、 は任意点 における波の振幅及び位相の空間的変動であり、 は虚数単位を表すために使用される表記である。
この単色スカラー波動場を上記の一般的な波動方程式に代入することにより、時間非依存の波がヘルムホルツ方程式の満たすべき式が得られる。 ここで、 は波数であり、次のように与えられる。 は波長である。 グリーンの定理として知られている数学関数を用いて、ヘルムホルツ方程式の厳密解は求められるが、物理的要因を強調する目的には近似解を配慮する。

ホイヘンスの原理

伝搬する波動の次の瞬間の波面の形状を考える時、波面のそれぞれの点から球面状の二次波(素元波)が出ていると考える。球面波は数学的に次式で表される。 ここで、 は点光源から観測点までの距離である。
観測スクリーンにおける振幅分布は単純に球面波の積分で表される。したがって、光の平面波が開口関数 の開口部を通って、距離 だけ離れたスクリーンに照射されるとき、スクリーンにおける振幅分布は次の積分と表される。 ここで、 は傾斜係数である。

Fig. 1. 球面波の伝搬

は光の平面波が開口関数 の開口部を通った球面波の振幅である。近軸近似の場合、 は積分から取り出すことができる。分母 では、波の振幅のみに影響し、ゆっくり変化する関数とみなすことができる。逆に、指数部にある が波数に掛けて、回折の位相に影響を及ぼしている。よって、変動指数では、常に考慮されるべきである。したがって、方程式 を次のように簡略化することができる。

ホイヘンス-フレネルの原理

上記の式から、ピタゴラスの定理を用いて、距離 がこのように書くことができる。 また、 の関係式で、次のように書き換えることができる。 距離は二項級数に展開し、近軸近似の条件により、二次まで近似することができる。 この近似は、興味があるものとした光学系の大部分を特徴付ける。一般に、この条件下の回折はフレネル回折と呼ばれる。
次に、開口部を通った球面波にレンズを配置し、レンズ焦点面 に形成された回折パターンの解を考えてみよう。定義により、レンズは平面波面を半径 球面波面に変換する装置(Fig. 2 参照)である。

Fig. 2. レンズとのフーリエ変換演算

ここで、 は球面波上の任意点の高さであり、 における球面波のサッグである。再びピタゴラスの定理と近軸近似を用いて、 は次のように近似できる。 レンズによって導入される位相変化は、 に配置されたレンズが の項を追加される。この項は、距離近似の をキャンセルし、 における焦点面上の点は次の積分となる。 この式は、焦点面の光が開口分布のフーリエ変換であることを示している。上記の回折パターンを決定する積分方程式は、フーリエ光学解析の基礎として使用される。

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